Regla Modular o de Prioridad en Potencias y Raices
(sg.X)Q = sg.|X|Q Donde sg. es el signo +/-
Natural, fisica y real regla
En el mundo fisico y real no encontramos ningun valor o potencial negativo que elevado al cuadrado se convierta en positivo.
Tampoco ninguna raiz natural par de numeros negativos puede producir el cambio a numeros imaginarios.

Por tanto se hace necesario establecer una regla que de solucion a este problema real.
Soluciones a potencias y raices: Forma simple -91/2 = -3 y forma compuesta o compleja (-9)1/2 = 3i

De ferman Fernando Mancebo Rodriguez--- Pagina personal.

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""La potencia o raiz simple o real de un numero negativo es por logica natural un numero negativo.""
Regla que nos permite operar con potencias y raices sin salirnos del campo negativo

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Regla Modular o de Prioridad en potencias y raices.
"" La regla de los signos es inadecuada en potencia y raices naturales "".
"Porque un unico signo no puede operar sobre si mismo."

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"Para toda potencia o raiz existe una resolucion modular o Regla de Prioridad por la cual se resuelve primero la potencia o raiz del modulo numerico |del valor absoluto|=(base o radicando sin signo) y despues le aplicamos el signo que lleva dicho modulo".
Ya que a un simple signo, ejemplo ( - ), no podemos elevarlo a una potencia ni hallarle una raiz, sino componerlo con otros signos.

La regla de prioridad nos dice que toda potencia o raiz pura ha de revolverse mediante la norma: Dada una igualdad (sg.x)n = sg.|x|n donde sg. es el signo +/-

Diferencia conceptual entre potencias y raices simples o prioritarias, y compuestas.

Diferencia conceptual entre potencias y raices (simples) de UN numero negativo,
y productos y raices (compuestas) para VARIOS NUMEROS negativos.

--En UN numero negativo solo existe un signo negativo, y por tanto las potencias y raices han de mantenerse en el mismo campo negativo del numero.
* Todas las potencias y raices deberian resolverse prioritariamente por este procedimiento simple.

--En lo productos y raices para VARIOS NUMEROS negativos existen (o se obtienen) tambien varios signos negativos y por tanto se aplica el metodo de composicion de los signos.
* En este caso debemos tener conciencia de que no se trata de potencias y raices simples o naturales, sino de raices/productos multiples que nos pueden producir cambios de signo y de campo (negativo a positivo o viceversa) .

Por tanto para esta teoria, la actual forma (-6)2 = 36 no es una potencia directa sino el producto compuesto de varios numeros negativos (-6).(-6) = 36
En la forma directa por la regla de Prioridad se resuelve: (-6)2 = -|6|2 = -36
Por ejemplo: (-5)2 grados = -25 grados

No obstante y para no confundirnos usaremos parentesis o no para expresar que metodo queremos usar para resolver la operacion.
Sin parentesis significa que usamos el metodo simple (natural) o regla de prioridad: -62 = -36
Son parentesis significa que usamos el metodo complejo o regla de signos: (-6)2 = +36

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Postulado:

La pretendida diferenciacion matematica entre "un numero negativo" y "menos un numero positivo" no tiene consistencia pues se demuestra facilmente que significan lo mismo:
Por ejemplo:
[-5] y [- (+5)] tiene el mismo valor y sentido matematico ya que ambos son - 5, o sea un numero negativo.
Por tanto "menos un numero positivo" es matematicamente un numero negativo.

Por tanto lo que varia en las soluciones a potencias y raices negativas son los metodos matematicos aplicados a los mismos valores.
En el metodo de signos se deben usar parentesis para definir que queremos componer y cambiar signos.
(-3)2 = + 9 ----- (-9)(1/2) = 3i
En el metodo de prioridad o modular no ponemos parentesis porque queremos respetar el campo (+/-) en que estamos y operar solo sobre el modulo del valor.
-32 = -9 ------ -91/2 = -3

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Procedimiento de cambio de signo:

Entiendo que con el proceso de cambio de signo se demuestra que no es lo mismo la potencia de un numero negativo, que el producto de varios numeros negativos iguales.
Por ejemplo:
Dado (x)2 = -16, nosotros podemos intercambiar los miembros de lado, o cambiar el signo de ellos sin que con ello deje de cumplirse la igualdad.

(x)2 = -16 -------------> -(x)2 = 16
-x = 16 1/2 ----> -x = 4 ---> x = -4

En cambio siendo el producto de dos numeros negativos: (x) * (x) = -16 no tendria solucion real.

Filosofia y naturaleza de la Regla Modular o de Prioridad:

Cualquier numero o cantidad sometida a potencias o raices se considerara que esta operando sobre si misma y por tanto ha de conservar su misma naturaleza y signo.( Conservacion de campo o estado.)
De lo contrario no estaria operando sobre si misma, sino sobre otro valor numerico abstacto que cambia sus peculiaridades o campo operativo.
Por lo tanto, cuando mediante la regla de los signos obligamos a un signo a operar sobre si mismo, el resultado puede alejarse de la realidad y logica matematica, como en las potencias y raices pares de numero negativos (- . - = +)

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Luego la Regla de Prioridad nos da soluciones reales y simples a las potencias y raices de numeros negativos, manteniendo el mismo signo y sentido operativo.
Y asi esta regla nos abre el campo de los numeros reales a operaciones de potencias y raices con numeros negativos al cual no teniamos acceso con la regla de los signos.

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* Negar la existencia y posibilidad de operaciones internas de potencias y raices pares dentro del campo de los numeros negativos (y sin salirse de este campo) es irreal e inaceptable matematicamente.
Asi, decir que -2 es la raiz cuarta de -16 dentro del campo de los numeros negativos y sin salirnos de el, es cierto e inapelable, y por tanto debemos habilitar una norma para resolver estas circunstancias: la Regla de prioridad.
(p.e. raiz cuadrada de -25 euros son -5 euros. / Cuadrado de -8 euros = -64 euros.)

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Entonces podemos decir:
La raiz cuadrada directa o prioritaria de -16 grados, son -4 grados, pero nunca +4i grados.
La raiz cuadrada directa o prioritaria de -64 euros, son -8 euros. pero nunca +8i euros.
La raiz cuadrada directa o prioritaria de -25 manzanas, son -5 manzanas, pero nunca +5i manzanas
La raiz cuadrada directa o prioritaria de una acceleracion de -49 km/s., son -7 km/.s, pero nunca ...
La raiz cuadrada directa o prioritaria de -81, son -9, pero nunca....
Es decir, directas y reales soluciones.

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** Para entender un poco mejor el fundamento de la Regla de Prioridad, pongo un cuadro sinoptico de los campos y grupos en que podemos encuadrar a los numeros. En el se ve como todo numero debe de estar definido por dos parametros: Su grupo caracteristico y su campo o estado que sera positivo o negativo.

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Formas operativas: esquema

Primeramente vemos las dos formas de expresar las potencias y raices, ya sea en su forma simple o prioritaria, en la que aplicamos las potencias y raices solo al modulo numerico, y en su forma compuesta cuando aplicamos las potencias y raices tanto a modulos como al signo.

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En el siguiente dibujo vemos como partiendo de una potencia o raiz compuesta, podemos sustituir y despejar la incognita (x) y transformarla en la forma simple con solucion prioritaria o real xp.

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Significado real y significado abstracto en potencia y raices:

En potencias con significado real (regla de prioridad) multiplicamos el valor absoluto de un numero (o cantidad, aplicable a objetos) por si mismo N veces, pero conservando su signo o campo, ya sea positivo o negativo.
-32 euros = -|3|2 euros = - 9 euros.

En cambio las potencias (N) abstractas (regla de los signos) lo que se hace es multiplicar la base (que puede tambien ser aplicable a una cantidad de objetos) por numeros o bases abstractas (N-1) que si pueden cambiar su campo o signo.
(-3)2 euros = |- 3 euros| x (- 3) = 9 euros.

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Pensamiento logico, primitivo y natural:
"El cuadrado de algo negativo tiene que ser algo mas negativo todavia"

Ambito de definicion de potencias y raices negativas:
Durante el tiempo que un numero real o cantidad esta definido o actua como negativo, sus potencias y raices tambien son reales negativas.

Por tanto, en potencias y raices:
1.- Si queremos mantenernos en un ambito real, debemos aplicar la regla de prioridad.
---- En este caso, sometemos el metodo operativo a las cualidades del numero.
2.- Si queremos entrar en un ambito imaginario, complejo o abstracto podemos utilizar la regla de los signos.
---- En este caso, sometemos las cualidades del numero al metodo operativo.

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Regla de los signos: Analisis simple

Por otro lado podemos comprobar que la regla de los signos falla en sus propios principios y postulados.
La regla de los signos nos dice que la potencia par de un numero negativo es igual a la potencia par de ese mismo numero en positivo, o sea que (-x)2 = x2
Y eso es falso porque si le hacemos la raiz cuadrada a ambos terminos, el resultado es -x = x, siendo falso.
Si despejamos -x entonces -x = (x2)1/2 siendo por tanto -x = x, siendo falso.
Si despejamos la x entonces x = (x2)1/2 siendo por tanto x = -x, siendo tambien falso.
Es decir, la igualdad (-x)2 = x2 fundamento de las potencias pares negativas es falso desde su inicio.
Por tanto si queremos que sea posible esta solucion debemos sustituir la potencia pura por el producto de numeros negativos y escribirla asi: (-x)*(-x) = x2 siendo de esta forma correcta.

En este mismo sentido, en la teoria actual no se cumple la propiedad de inversion entre potencias y raices, buena en la Regla de Prioridad.

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Preambulo

Un primer dibujo recordatorio: preferencia de resolucion de potencias sobre productos

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Para la resolucion de operaciones en serie tales como polinomios, hemos escogido un especifico sistema de prioridad (metodo directo) para cada clase de operaciones, de tal manera que comenzamos resolviendo primero los terminos con potencias y raices; despues los productos y divisiones y finalmente las operaciones de sumas y restas.

1.- Potencias y raices.
2.- Productos y divisiones.
3.- Sumas y restas.

Aparte de ello hemos establecidos una norma de operatividad con los signos + y - ( regla de los signos - metodo abstracto o complejo ) tal que:

+ por + = +
- por - = +
+ por - = -
- por + = -

* por = compuesto con, combinado con.

No obstante pienso que en algunas operaciones como las potencias y raices las soluciones no estan totalmente conseguidas (debido a que usamos por defecto el metodo complejo o regla de los signos), y en algunos casos son bastante ilogicas, como por ejemplo que con numeros negativos las potencias pares sean positivas y las impares sean negativas.
Logicamente las potencias deberian tener el mismo signo, ya que por ejemplo del paso de potencia 2 a potencia 3 solo existe un aumento de exponente, pero ningun otro cambio de signo.

Asi en las potencias usamos un indirecto metodo de resolucion ( sustraccion del sustraendo) basado en sucesivas multiplicaciones:
-34 = (-3) x (-3) x (-3) x (-3) = 81
mediante la regla de los signos lo cual no parece correcto para la realidad matematica que no tiene porque seguir esta secuencia de productos y alternancia de signos ( defecto de metodo? ), sino que deberia ser una directa resolucion entre potencia y resultado:
|-34|= |-81|
Es decir, proceder a la potencia numerica y conservacion de la misma cualidad o signo.

La alternancia de signo en las potencias de numeros negativos no ocurre en la realidad aplicada, es simplemente un estado abstracto.
(p.e) El cuadrado de - 7 grados en un termometro sera - 49 grados, pero nunca + 49 grados.

Igualmente ocurre con las raices, ya que decimos que la raiz par de un numero negativo no tiene solucion real. Y deberia de tenerla.

Podemos poner como ejemplo a un termometro que nos marque -81 grados.
Esos -81 grados SI tienen su raiz cuarta real correspondiente, que es -3 grados. ( -811/4 = -3, ya que -34 = -81 ).
Pero no podemos obtenerla mediante la regla de los signos que nos daria un resultado complejo, sino mediante la regla de prioridad que nos da una solucion simple y real.

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Por tanto, y como preambulo, podemos decir que:
"La regla de los signos es un metodo abstracto y a veces contradicctorio, y no adecuado en mucho casos ( potencias y raices ) para la resolucion de situaciones reales, en las cuales debemos aplicar la regla de prioridad."

* Y recordemos:
Cuando un metodo operativo no coincide con la realidad, es el metodo quien es incorrecto, pero no la realidad.

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Y es con intencion de solucionar o mejorar este problema, para lo que propongo la solucion de prioridad, que no es un metodo arbitrario, sino simplemente seguir las normas operativas ya aceptadas y arriba mencionadas.

Desarrollo

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Potencias: "La potencia de un numero negativo es siempre un numero negativo" Conservacion de campo o estado

Como hemos dicho el sistema de resolucion en polinomios es el de establecer una prioridad operativa con la siguiente secuencia:

1.- Potencias y raices.
2.- Productos y divisiones.
3.- Sumas y restas.

Pues bien, es este caso se nos daran circunstancias y soluciones tales como la siguiente: (1)

36 - 32 = 27
- 32 = 27 - 36
- 32 = - 9

Pero como vemos esta igualdad no es aceptada actualmente.
Y por tanto la pregunta es obligada: Es correcta o no esta solucion?
Pues yo entiendo que SI lo es siguiendo la norma de prioridad en la resolucion de estas operaciones.
Veamos.
La igualdad 36 - 32 = 27 es cierta siempre que en el termino o monomio segundo ( - 32 ) efectuemos la operacion siguiendo el procedimiento de prioridad, es decir, resolver primero la potencia y despues aplicar el signo de sustraccion o resta.

- 32 = - ( 3 x 3 ) = - 9 Solucion de prioridad.

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Y para proceder en sentido contrario ( como se hace actualmente ) deberiamos exponerlo en la siguiente forma:

(- 3) 2 = ( -3 ) x ( -3 ) = 9

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Por tanto la solucion directa, correcta y prioritaria debera ser la primera: - 32 = - ( 3 x 3 ) = - 9 , la que por otro lado se deduce en la resolucion ( 1 ).

Ademas es la solucion matematica mas logica, pues parece inaceptable como dijimos al principio que en una serie de soluciones de potencia de numeros negativos, sean las pares positivas y las impares negativas.

Asi dado un numero real -2 que tiene potencias -21 = -2 ; -23 = -8 ; -25 = - 32 ; etc., tambien tiene que haber potencias reales intermedias que nos den -22 = -4 ; -24 = -16 etc.

Y el procedimiento para conseguir esto es solo seguir la regla de prioridad en la resolucion de polinomios.

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Por tanto, la forma de expresar y resolver las potencias ya sea mediante la regla de prioridad o mediante la regla de los signos, seria la expuesta en el dibujo siguiente:

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Raices: "La raiz de un numero negativo es siempre un numero negativo" Conservacion de campo o estado

Por los mismos principios de prioridad, a las raices les podemos dar la misma solucion que a las potencias:
Efectuar primero la operacion de raiz del radicando, y despues aplicarle la notacion + o - que lleve dicho radicando.

Sea una raiz cuadrada (R2/) de radicando negativo -16, R2/-16 en la cual resolvemos primero la raiz del modulo radicando 16 y despues le aplicamos el signo que posee este radicando.

R2/ -16 = - (R2/16) = - 4

Todo ello debido al la reciprocidad entre raices y potencias:
"El resultado de una raiz N de un radicando a, sera el numero que elevado a N nos de dicho radicando a."

Asi si tenemos una raiz R2/-16, su resultado sera aquel que elevado al cuadrado nos de -16. O sea: - 4

- 42 = - 16

Para verlo un poco mas claro, vamos a usar la forma exponencial de representar a las raices: b1/2
Pongamos un ejemplo.
Sean la raiz cuadrada: -161/2

- 161/2 = - ( 161/2 ) = -4

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En este caso se vez mas claro que le el modulo numerico (sin signo) puede, y tiene prioridad, para ser resulto primeramente y despues aplicarle el signo ( - ) que llevaba dicho modulo.

En caso contrario tendriamos que expresarlo asi: ( -16 )1/2 = -4i

Historical confusion:
La confusion historica que ha impedido el desarrollo, concrecion y correcta aplicacion de la regla de prioridad ha sido consecuencia (creo yo) del uso para las raices de su simbolo especifico o signo radical |/ el cual contienen dentro de el al signo y al radicando, lo cual parece obligar a efectuar la operacion por le regla de los signos.
Pero es solo una apreciacion subjetiva producida por su forma grafica, pero no real.
Sin embargo cuando exponemos una raiz en forma exponencial, entonces vemos con mas claridad la aplicacion de la regla de prioridad, como con cualquier otro exponente.
No obstante, y como hemos visto, sea cual sea su forma de expresion, la regla de prioridad es admisible y aplicable en cualquier caso.

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Ejemplo de ajuste de raices mediante la regla de prioridad:

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Pues bien, para buscar raices concretas podriamos expresarlo asi:

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Asi pues, con la regla de prioridad resolvemos, o damos una solucion aceptable, a las potencias y raices negativas.
Una solucion que en la practica se ve mas logica y real que la otra solucion actual.
Por ejemplo,

1.- Si un termometro marca -3 grados, y deseo elevar dicho valor al cuadrado, el resultado sera de -9 grados, pero no de +9 grados.
Si ahora con -9 grados quiero llevarlo hasta su raiz cuadrada, entonces el resultado volvera a ser de -3 grados, pero no de un numero imaginario 3i.

2.- Si en unas coordenadas cartesianas tenemos un valor de -4x, al elevarlo al cuadrado tendremos un valor tambien negativo de -16x. Pero no de +16x.
Si ahora a este valor de -16x le quiero calcular su raiz cuadrada, el resultado volvera a ser de -4x. Pero no un valor imaginario de 4ix.

3.- Si sobre el nivel del mar ( 0 ) mido 5 metros de profundidad, (-5 metros sobre el nivel) y quiero elevarlo a cuadrado, el resultado sera de -25 metros sobre el nivel del mar. Pero no +25 metros.
Si ahora quiero hallar la raiz cuadrada de estos -25 metros, el resultado sera de -5 metros. Pero no 5i metros.

4.- Si yo tengo un debito (2600 euros) en el banco, mi cuenta estara en - 2600 euros.
Si ingreso + 1000 euros, mi cuenta estara ahora en - 1600, ( - 2600 + 1000 )
Y si deseo saber por curiosidad la raiz cuadra R2/ de ese debito, vere que asciende a - 40 euros, es decir un numero completamente real.

Si por el contrario tengo esos -1600, y quiero elevar mi debito al cuadrado, la cuenta resultante sera de : - 2560000.
Pero nunca tendre 2560000 a mi favor en dicha cuenta, tal como nos daria una potencia de numeros negativos.

En el mismo sentido, debemos tener en cuenta que el signo menos - es el signo de la sustraccion o del substraendo y que en cualquier resta podemos elevar el cuadrado a dicho substraendo sin que por ello este cambio de signo y se convierta en sumando.

[HOTLIST] Ejemplo de problema con solucion mediante la regla de prioridad:

Si tenemos 1 litro de agua a -16 grados y otro a 16 grados y los mezclamos, obtenemos 2 litros de agua a 0 grados.
Y el ajueste seria:
- 16 x 1 + 16 x 1 = - 16 + 16 = 0
Si ahora deseamos hacer el mismo experimento con la raiz cuarta de dichas temperaturas, - Cual seria el ajuste?.
-161/4 x 1 + 161/4 x 1 = - 2 + 2 = 0

[HOTLIST] Ejemplos de operaciones usando la regla de prioridad:

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En general, la Regla de Prioridad significa que:

"Sobre un valor o cantidad tomado en una direccion determinada, podemos aplicar cualquier operacion de potencias y raices, sin que por ello cambie la direccion o sentido ( +, - ) de dicho valor."

De este modo, la regla de prioridad nos permite operar de una forma practica sobre valores reales, evitando los cambios de signo y significado a que nos podria conducir la aplicacion abstracta de la regla de los signos.

Luego:

Las potencias o raices pares de un numero negativo (por la "abstracta" regla de los signos) puede darnos un resultado positivo o imaginario, pero su potencia o raiz "practica y sustancial" siempre nos dara un numero negativo real (regla de prioridad).

* Por otro lado, la regla de prioridad ya se aplica en las operaciones mas simples como puede ser una suma de numero negativos:
-3 -4 -6 -9 = -22
que se resuelve sumando primero los modulos numericos 3 + 4 + 6 + 9 = 22 y despues le ponemos el signo de menos que estos numeros llevaban ( - 22 ).
Pues lo mismo que hacemos con la regla de prioridad en potencias y raices.

Por ello a estas soluciones para potencias y raices negativas les denominaremos "soluciones de prioridad" y a la regla que ya se usa comunmente, les denominaremos "Regla de prioridad".

Por otro lado, la solucion de prioridad nos resuelve con numero reales muchas aplicaciones para las que necesitabamos numeros imaginarios, como las que hemos visto anteriormente y en el dibujo siguiente.

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Y tambien solucion para operaciones que ahora no las tienen: x4 + 16 = 0

Por tanto y para terminar, hagamos un primer intento de definicion y expongamos que:

"Para toda potencia o raiz existe una resolucion directa o Regla de Prioridad por la cual se resuelve primero el modulo numerico (base o radicando sin signo) y despues le aplicamos el signo que lleva dicho modulo".

Por tanto digamos que:

"En la practica la realidad operativa exige la existencia y aplicacion de la Regla de Prioridad".

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Significado practico u operativo

Asi cuando tenemos que resolver una potencia o raiz de forma practica o real, como por ejempo el cuadrado de -3 grados, podemos tomar dos posicionamientos diferentes:
--- Uno, el metodo abstracto o indirecto siguiendo la regla de los signos, con el cual multiplicarmos los -3 grados por el numero abstracto (-3), obtenemos un producto complejo con cambio de signo o campo numerico. (-3g.) x (-3) = + 9g.

--- Dos, usando la regla de prioridad o de potencia directa, en el cual elevamos al cuadrado los -3 grados, con conservacion de signo o campo numerico: -3g2 = -|3|2g = -9g.
Como vemos la regla de los signos nos da un producto matematico complejo y la regla de prioridad nos da un cuadrado real o cuadrado fisico.

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Abstracto y prioritario: Dos metodos operativos.

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Gracias. Fernando Mancebo Rodriguez