Angulos planares
Angulo de observacion Ao
Trimetria, meridiano estelar, trimetria estelar.
Horizont como visual parametro
De ferman Fernando Mancebo Rodriguez--- julio 2007------- Pagina personal.

Se pueden ver la mayor parte de mis trabajos en las siguientes paginas:

FISICA:
Experimentos de la doble rendija y de la camara oscura: ferman experimento
En favor de la teoria cosmica de ferman FCM
Modelo de Cosmos.||| Modelo atomico ||| Velocidad de desarrollo de las fuerzas.
Imanes, Polaridad magnetica N-S. ||| Prueba de la inversion
Moleculas estelares ||| Caos Estatico y Dinamico||| Tabla de medidas atomicas
Principales fundamentos en la Estructura del Cosmos.||| El Movimiento Universal
Las cargas positivas residen en las orbitas ||| Modelo cosmico-matematico basado en Pi.
Einstein y la gravedad ||| Principio de Inexactitud en las observaciones||| Las particulas atomicas
MATEMATICAS:
Coordenadas radiales. ||| Teoria conjuntos fisicos y matematicos. | Producto algebraico conjuntos.
Angulos planares: Trimetria. ||| Principio de equivalencia y propiedad conmutiva de la division. ||| Conceptos y numeros ||| Propiedad de transposicion||| Fracciones: Porcion natural
Dimensiones matematicas ||| Coeficiente de curvatura ||| Regla de prioridad en potencias y raices
La espiral cosmica ||| Producto acumulado: Potencias ||| El contador decimal k
Formula directa de Pi: El Pi cuadrante ||| Las piramides de Pi cuadrante
Geometria dimensional ||| Funciones de Pi
VARIOS:
Moleculas esfericas: Benceno ||| Herencia Genetica. ||| Cerebro y Conciencia. ||| Tipos de genes T y D.||| Metafisica ||| Principio de Certidumbre ||| El gato de Schrodinger y los pajaros de Ferman.
Theoricles de Alejandria. ||| El mundo onirico. ||| Satira sobre la Mecanica cuantica
INVENCIONES:
Teja Andaluza . ||| Motor rotatorio. ||| Motor de vaporizacion.
Modelos triangulares y piramidales de casas ||| El bosque cebreado
ARTICULOS:
Triangulo de la busura: Mecanica cuantica, Relatividad y teoria Estandar.
Los cuentos y fabulas de los relojes relativistas ||| Aceleradores de particulas
Nucleo de las galaxias ||| Hidrocarburos, agua y vida sobre la tierra. ||| Formula del Cosmos.
Principio de Ubicuidad. ||| Contra el insomnio .||| Cuerda-velocidad de las galaxias.
METAFISICA:
Quien es Dios

Email: ferman25@hotmail.com
Email: ferman30@yahoo.es

Pages in English.

Angulos planares
Angulo de Observacion Ao
Parametro visual : el Horizont

[HOTLIST]

Horizont
Unidad metrica de angulos planares
Horizont = 1 m (m)
Horizont 2 = 1 m2(m)

Ya conocemos y hemos estudiado algunas medidas angulares en sus distintas dimensiones, pero siempre refiriendonos o tomando como punto de referencia a centros radiales sobre los que medir dichos angulos.
En este caso siempre nos dan angulos radiales que representan arcos de circunferencia con unidades tales como el grado o radian en medidas longitudinales y grados cuadrados o stereoradianes en medidas de superficies esfericas.
Pero creo que nos falta un centro o marco de referencia muy importante para nosotros, nuestros ojos.
Pues bien, nuestro campo de vision tiene una amplitud que muchos estiman es unos 50 grados de amplitud lateral.

Ahora bien para nuestro estudio, y adaptandonos tanto a las peculiaridades de nuestra vision como a la geometria espacial que vamos a estudiar, pues vamos a aplicar una amplitud de campo de 45 grados.
A esta amplitud de campos la llamaremos Angulo de Observacion porque como su nombre indica vamos a utilizar angulos para medir todas las observaciones y todo el conjunto operaciones sobre este nuevo campo que estimo es la trimetria.

Pues bien, para medir ese angulo maximo de observacion que hemos adoptado, vamos a utilizar una unidad de medida le llamaremos Horizont, y es debido a que dicho horizont coincide con la amplitud del horizonte de vision que nosotros tenemos.
Es decir si nos fijamos en el horizonte de nuestra vision observaremos que los extremos de ese horizonte observado forma con nuestros ojos un angulo de aproximadamente 45 grados.
Ahora bien, nosotros no utilizaremos grados sino angulos planos que se miden por unidades metricas, es decir, en metros.
Y para que vamos a hacerlo en metros?
Pues muy facil, para ahorrarnos toda la trigonometria, con sus angulos y tablas de aplicacion. Aqui no utilizaremos tablas trigonometrica sino simple medidas lineales.

Y para ello usaremos como unidad al horizont, que es el angulo de vision u observacion correspondiente a 1 metro de (L) longitud en perpendicular, medida a 1 metros (d) de distancia.
Luego el horizont sera L/d = 1, y como vemos siempre que L y d sean iguales, el angulo siempre sera la unidad u horizont.
El simbolo que utilizamos de angulo planar o angulo de observacion sera (Ao) y que como hemos dicho, si su valor es 1 entonces sera la unidad angular u horizont.
Todo ello lo vemos mejor en el dibujo de arriba.

Y para que nos sirve este parametro y porque utilizamos centimetro en vez de grados?
Pues para tener un parametro ajustado a nuestras peculiaridades de vision, y usamos medidas metricas angulares, con objeto de poder ajustar las superficie que observamos en medidas metricas.

* Como vemos, la circunferencia deber tener 8 horizonts de angulo planar, es decir, si con nuestra vision observamos ocho horizontes consecutivos llegaremos a abarcar la circunferencia completamente.
Y la esfera deberia tener 16 horizonts cuadrados.

Las formulas usadas con este tipo de medida son muy simples como se vislumbra. Su uso mas simple seria:

Para angulos longitudinales:

Horizont = 1 m (m)

L = Ao x d

Donde L es la longitud del horizonte o longitud del objeto a medir, Ao es el angulo planar o de observacion, y d la distancia a que se encuentra el objeto.

Y para angulos de superficies

Horizont2 = 1 m2(m)

S = $ x d2

Donde S es la superficie que deseamos conocer de un objeto lejano. $ la superficie angular que se pueden medir con un simple dispositivo para tal efecto (un visor cuadriculado) y por supuesto la distancia d del objeto que si es necesario saberla.

[HOTLIST]

Angulo planar longitudinal

Aunque por razon de su fundamento visual hemos empezado por ver la superficie angular planar, logicamente tambien existe la longitud angular planar.
Esta seria aquella amplitud plana y lineal de nuestro horizonte de vision con una magnitud de 1 dm al metro de distancia.
Por supuesto su unidad de medida seria el horizont = 1 m (m).
Y la formula utilizable seria pues:

L = Ao x d

Donde L seria la longitud frontal de un objeto observable cualquiera. Ao, la longitud angular y d la distancia a que se encuentra el objeto.
Por supuesto que todas las consideraciones de las superficies angulares planares son validas para las longitudinales.

Defincion:-

Angulo planar es una estructura geometrica angular que esta formada solamente por lineas y superficies planas sometidas a mediciones exclusivamente metricas.
Consta de:

---Un vertice angular donde se cortan las lineas o planos que forman el angulo.
---Los lados que son las lineas o planos que forman el angulo.
---El horizonte angular que es la linea o plano que corta al angulo perpendicular a la distancia d, y donde se situan los objetos a observar.
---La distancia d o bisectriz del angulo sobre la cual se miden las unidades de distancia y la distancia de los objetos observables.

Las dimensiones angulares vienen determinadas por la amplitud o abertura del angulo y la distancia d desde el vertice angular hasta el horizonte angular donde se encuentra el objeto observable.

Del estudio: Theoricles de Alenjandria: k = Ao = Angulo de observacion. Theoricles de Alejandria.
* Como vemos mas adelante (P. ubicuidad) el angulo de observacion (k) es un parametro muy importante pues nos indica nuestra posicion respecto de los demas objetos del universo, siendo su valor ideal k = 1, que sera cuando nos encontramos en la posicion mas idonea para la observacion y estudio del objeto a contemplar.

Por ejemplo, observar un jarron de 40 centimetros de altura a 40 centrimetros de distancia; un arbusto de 1 metro de altura a 1 metro de distancia; una casa de 6 metros de altura a 6 metros de distancia, etc.

Medicion de angulos planares

[HOTLIST]

En el dibujo siguiente se muestra lo simple que es medir un angulo planar.
Basta con una escuadra milimetrada y posicionarla como se muestra en el dibujo.
Despues se aplica la formula de angulos planares y obtenemos la longitud buscada.

[HOTLIST]

Para medir superficies planares nos bastaria con un visor cuadriculado que nos marcara una superficie aproximada del objeto observado o de su marco de encuadre y observacion.
Esto lo veremos despues cuando tratemos la construccion de superficies planares.

[HOTLIST]

Triangulacion

[HOTLIST]

Como vemos en el dibujo, la triangulacion es muy sencilla con angulos planares. De tal forma que si contamos con una visor doble (de posicion y de angularidad) bien ajustado, con solo observar el angulo de desfase del visor podemos obtener la distancia al objeto observado.

En el dibujo se expone un esquema simple del visor.
Este consta de dos lentes de observacion completamente alineadas en paralelo y a una unidad determinada de distancias entre estas dos lentes.
La lente 1 es la encargada de fijar el punto u objeto a observar sobre su centro de medida.
La lente 2, que por ser su campo de vision completamente paralelo a la lente 1, nos marcara un desfase entre el objeto y el punto central de medida.
Este desfase es la angularidad Ao que sera la que divida a la unidad de separacion entre las lentes para hallar la distancia al objeto observado, tal como se ve en el dibujo ( d = 1 / Ao )

Pues bien, una vez obtenida la distancia ya podemos con la lente 2 solamente medir la angularidad del objeto observado y hallar sus dimensiones reales.
Asi pues, este es un dispositivo para medir distancias y dimensiones de los objetos lejanos.

Trimetria, meridiano estelar, trimetria estelar.

Ya conocemos que la trigonometria estudia la relacion entre la amplitud de los angulos y las longitudes de los lados de los triangulos.
Estos estudios trigonometricos se hacen con parametros y tablas de valores angulares ya sea en grados o radianes y por tanto se hace bajo la consideracion de angulos radiales, o dicho de otro manera, estamos trabajando sobre triangulos inscritos sobre la circunferencia.
Sin embargo, nuestros parametros de medidas son diferentes, es decir, son angulos planares cuya metrica es la simple relacion entre el plano frontal u horizonte de observacion y la distancia a ese plano frontal u horizonte a medir. Por tanto nada relativo a la circunferencia y sus grados de amplitud
Por tanto como nuestro estudio varia en parametros, tablas y caracteristicas de sus componentes, pues tendriamos que llamarle de otra forma a estos metodos de medida.
Asi que le llamare TRIMETRIA, si nadie se opone.

Horizont: Sus multiplos y divisores

Hemos comprobado que el horizont es una unidad propia para la observacion simple de nuestra capacidad ocular, y para ello esta estudiada esta unidad de medida.
Pero sin embargo pueden existir muchos supuestos en que sea necesario utilizar tanto multiplos como divisores de esta unidad u horizont.
Asi si nos fijamos en las figuras geometricas como pueden ser los triangulos, conos, piramides, etc., la unidad propicia es el horizont
Por otro lado en supuestos y circunstancia tales como enmarcar un grupo de estrellas del cielo, pues seria mas conveniente usar un divisor del horizont, puesto que este seria mas grande de lo deseado.
En este caso usaremos el deci o centi-horizont (dh)(ch) que seria una unidad relativa de 1/10 or 1/100 horizonts.
En el dibujo siguiente vemos un ejemplo de esto:

**** No obstante, entiendo que en un futuro se usen comunmente expresiones metricas referidas al centimetro, tales como la de "angulo de 80 centimetro; de veinte centimetro, de 2 centimetros, etc."

[HOTLIST]

Meridiano estelar

Ademas en este dibujo vemos la propuesta de uso de un meridiano estelar consecuente con la estructura del mapa estelar, sin tener en cuenta el plano de la ecliptica y del plano de giro de la tierra que son demasiado cambiantes y poco ubicables.

Bien, revisado estos temas someramente, pasaremos despues a revisar mas a fondo el tema de la trimetria en las figuras geometrica.

Trimetria en las figuras geometricas.

Como hemos dicho, consideraremos a la trimetria como una rama manor de la geometria que estudia metodos de medidas de los angulos planares y su triangulacion, apoyandose exclusivamente en medida metrica.
Mientras que la trigonometria se dirige exclusivamente a los triangulos rectangulos y usa tablas de valores angulares, en trimetria se dirige a todo tipo de triangulos, conos y piramides (* y otros ) y basa sus parametros de amplitud angular en la simple relacion entre la base y la altura de estas figuras geometricas y las caracteristicas de proyeccion que tienen su angulo (desde el vertice).
Esta relacion particular nos da la amplitud especifica para cada figura.
Ademas no es necesario usar tablas ya que no existe otra relacion que la antes mencionada.
En este sentido, el angulo de una figura (triangulo por ejemplo) en trigonometria puede hallarse con un transportador de angulos, mientras que en trimetria la amplitud angular puede hallarse igualmente con una escuadra milimetrada.

[--(* y otros ) Ademas de triangulos, conos y piramides, con la trimetria de angularidad variable podemos construir todo tipo de figuras, semejante a lo que hacemos con las coordenadas cartesianas.]

En los siguientes dibujos se ve algunas figuras en las que se puede utilizar la trimetria:

[HOTLIST]

En este dibujo anterior la primera observacion nos lleva a comprender que la relacion entre la base L (u horizonte) del triangulo y la altura (o distancia d) nos da la valoracion del angulo (Ao) de dicho triangulo en horizonts.
Tambien vemos que esta propiedad es aplicable a todo tipo de triangulos.

[HOTLIST]

[HOTLIST]

[HOTLIST]

[HOTLIST]

Angularidad

La angularidad es simplemente el valor del angulo de la figura que estemos considerando. Por tanto en los angulos lineales o angulo simples su angularidad º es la medida de este angulo, a saber, A = L/d.
Sin embargo en las superficies angulares, (por ejemplo en la proyeccion de un cuadrado, circulo, triangulo, estrella, o de una figura compleja cualquiera -una flor-) su angularidad no puede ser la medida del angulo exterior de dicha figura puesto que esta puede tener diferentes angulos exteriores y ademas puede tener huecos dentro de dicha superficie.
En este caso, tenemos que escoger un angulo medio el cual elevado al cuadrado nos de la angularidad media $ de dicha figura. $ = S/d 2

[HOTLIST]

[HOTLIST]

Angularidad variable

Ahora bien, una propiedad usada en trimetria es la aplicacion de la angularidad variable para construir figuras.
Esta propiedad consiste en ir cambiando en las figuras o campos de proyeccion su angularidad para cada valor de la distancia d.
Con esta propiedad podemos obtener figuras de todo tipo.
Por tanto, podemos explicar la anterior caracteristica en la forma siguiente:
---Angularidad invariable sera cuando la angularidad de una figura sea igual para cada tramo o valor de la distancia d.
---Angularidad variable sera cuando la angularidad de una figura vaya cambiando para cada tramo o valor de la distancia d.
Esta cuestion es explicada con sus formulas correspondientes.

[HOTLIST]

[HOTLIST]

Formulas para construir figuras de angularidad variables

Ya conocemos las formulas basicas de trimetria tanto para angulos lineales ( L = A x d ) como de superficies ( S = $ x d 2 ).
No obstante cuando usamos angulos variables para construir figuras, pues necesitamos sustituir estos parametros por funciones algebraicas para hacer que dichos angulos vayan cambiando segun las variables aplicadas.
Las distintas posibilidades de sustitucion de parametros y de obtencion de distintas figuras son numerosas, y con el tiempo quizas veamos muchas de ellas.
Por el momento escogere alguna con la que podemos construir estas figuras y que pongo a continuacion.
No obstante, tendremos primero que comenzar a proponer bases de uso en trimetria y quizas una de ellas, (quizas en el futuro se cambie) seria la de considerar que tanto angulos lineales como angulos de superficies no deberían en principio tener valores negativos.
En logica se considera que un angulo o una superficie siempre seran positivos en sus valores.
Asi pues, una formula que construye una figura geometrica sera considerada solo en el tramo que sean positivos sus valores resultantes.
Veamos algunas formulas para construir estas figuras:

[HOTLIST]

[HOTLIST]

Aplicacion de angularidad segun la triangulacion de angulos planares longitudinales.

Como vemos en los dibujos anteriores y siguientes, los angulos planares pueden ser observados con perspectiva central, o sea, cuando plano a observar o medir esta situado en el centro de vision o consideracion del mismo.
En este caso, la perpendicular de observacion o medicion coincide con el centro de plano o figura a considerar y por tanto el plano a observar representa la base de un triangulo isosceles observado desde su vertice superior. (Ver dibujos)
Pero tambien podemos considerar u observar una figura de modo no centrado, es decir, que nuestra perpendicular con el plano de dicha figura coincida con un extremo de sus lados (observacion en angulo recto) o que este situado en cualquier parte del plano que no sea el centro o extremo (observacion irregular).
--En el primer caso al estar centrada la observacion sobre el centro del plano, pues a cada lado de dicho centro quedara la misma angularidad, es decir, A/2 sobre el angulo superior y A/2 sobre el angulo inferior.
--En el segundo caso o de observacion rectangular, toda la angularidad A quedara sobre el lado superior, o inferior si asi lo decidimos.
--En el tercer caso, u observacion irregular, habra que conocer el porcentaje de angulo que se aplicara a la parte superior y a la parte inferior.

[HOTLIST]

Algunos ejemplos de construccion de figuras de angularidad variable.

En los siguientes dibujos vemos ejemplos de como construir figuras de angularidad variable.
En ellos vemos los tres tipos de triangulacion, las cuales se expresan en los dibujos.
Primeramente veremos los angulos lineales y mas tarde pondremos los de superficies angulares.

[HOTLIST]

[HOTLIST]

[HOTLIST]

[HOTLIST]

[HOTLIST]

[HOTLIST]

[HOTLIST]

[HOTLIST]

[HOTLIST]

[HOTLIST]

[HOTLIST]

[HOTLIST]

[HOTLIST]

Intervalo oscilante.

Al igual que hemos visto en coordenadas radiales, el entorno o intervalo oscilante puede ser aplicado en las formula de trimetria para conseguir figuras espaciales como por ejemplo rombos y figuras romboides.
Recordemos que el intervalo oscilante consiste en la aplicacion a una variable de valores oscilantes entre n y m.
Si tenemos una expresion oscilante ( x ) 0/5 (ver dibujo) quiere decir que x va tomando valores de 0 a 5 y de 5 a 0 continuadamente (0,1,2,3,4,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,4,3,2,1,0,1 .... etc.)

[HOTLIST]

[HOTLIST]

[HOTLIST]

Uso de parametros trigonometicos

[HOTLIST]

En estos ejemplos estamos utilizando las formulas de trimetria pero incluyendo parametros de trigonometria con objeto de estudiar las posibilidades que nos dan estos parametros trigonometricos.
En el dibujo anterior vemos como construimos una circunferencia (en triangulacion isosceles).
En el dibujo siguiente vemos como podemos construir toda una gama de curvas con parametros trigonometricos.
Cuando aplicamos exponenciales:
--Con exponente variable (x) a los senos y cosenos obtenemos curvas (hacia el interior) que van desde la semicircunferencia cuando aplicamos x=1; recta (o rombo) cuando aplicamos x=2 y curvas cada vez mas pronunciadas hasta conseguir con x=infinito un doble angulo recto.
Cuando aplicamos raices:
--Raices con exponente variable ( x ) a los senos y cosenos obtenemos curvas (hacia el exterior) cada vez mas pronunciadas hasta llegar a construir un rectangulo cuando x=infinito.

[HOTLIST]

En el siguiente dibujo tenemos figuras elipticas que se consiguen dando distintos valores a la variable x

[HOTLIST]

Constantes.

Como vemos en los dibujos situientes, con angularidad variable podemos obtener diferentes tipos de figuras geometricas si hacemos constante cualquiera de sus parametros.
---Si hacemos constante el horizonte L obtendremos cuadros y rectangulos en angulos longitudinales y cubos, cilindros, etc., en angulos superficies planares.
---Si hacemos constante el angulo planar º obtendremos triangulos en angulos longitudinales y piramides, conos y proyecciones en superficies planares.
---Si hacemos constante la distancia d obtendremos horizontes o lineas perpendiculares en angulos longitudinales y horizontes cuadrados o superficies planas (pantallas) perpendiculares en superficies planares.

[HOTLIST]

[HOTLIST]

[HOTLIST]

Diversidad de formas de las superficies planares:

Campos e imagenes de proyeccion.

Hemos visto que la superficie planar se puede considerar como una figura de proyeccion que se extiende a lo largo de una distancia d o simplemente como un campo visual que se extiende tambien a lo largo de una distancia determinada.
Este caracter de proyeccion hace sea posible la representacion de cualquier tipo de figura, desde un simple cuadrado o circulo hasta la proyeccion de la figura un numero, una flor o un animal.
Este enorme campo de posibilidades tambien hace dificil la correspondencia entre las superficies planares y sus simples angulos longitudinales.
Asi es facil y tiene clara correspondencia el ajuste y representacion de una superficie cuadrada con el angulo lineal que nos daria su lado.
Pero no podemos encontrar un angulo lineal representativo de una figura compleja como puede ser la proyeccion de la figura de un animal.
Sin embargo (y como ya hemos visto en dibujos anteriores) si hay un parametro que tiene correspondencia entre angulos lineales y angulos de superficies y es su angularidad, es decir, el "angulo medio" de la superficie y que seria simplemente la raiz cuadrada de la superficie de la figura, que como vemos se corresponde con el lado de una superficie cuadrada.
Y si estamos considerando solo un simple campo de observacion, tambien seria la raiz cuadrada de este campo de observacion.
Asi pues, esta angularidad es igual a la unidad de superficie angular $ de cada figura o campo de observacion.
Asi que como la angularidad tiene correspondencia entre angulos lineales y angulos de superficie, pues tendriamos que el cuadrado de la unidad de angulo lineal º nos daria la unidad de angulo de superficie $ ( º 2 = $ )
Pero al mismo tiempo la angularidad de las superficies se da en todos y cada uno de sus puntos, de tal manera que dicha angularidad representa la organizacion estructural de la superficie.
Asi si tomamos una minuscula porcion de la superficie (por ejemplo el ojo en la superficie de tigre) veremos que la angularidad de esta superficie (figura del tigre) nos permite distribuir adecuadamente a todos los demas elementos de la figura con la formula de angularidad que estemos usando.

Por tanto de lo anterior podemos sacar las siguientes conclusiones:

1.- Los parametros y formulas de las superficies planares no definen la totalidad la estructura de estas superficie, pero miden, manejan, proyectan y transforman a dichas superficies.
2.- Las superficies planares contienen, ademas los estos parametros y formulas que estamos describiendo, un modelo o PLANTILLA que es el que transformamos medimos y proyectamos con los parametros descritos.

Esto lo vemos claramente en la proyeccion de peliculas, donde el proyector con sus peculiaridades y caracteristicas solo emite o proyecta la diapositiva de la pelicula, pero no construye a esta diapositiva, sino que les es suministrada para su proyeccion.
En las superficies planares esta plantilla puede ser simple como un cuadrado proyectado que nos da una piramide cuadrada; un circulo proyectado que nos da un cono; o una figura compleja que nos da una proyeccion de figura compleja.

En el dibujo siguiente vemos ejemplos de proyección de figuras tanto en angulos no variables como en angulos variables.

[HOTLIST]

Construccion de figuras de superficies planares

Pueden existir varias formas de contemplar y estudiar a la superficies planares, sin embargo y siguiente la linea inicial de considerar a las superficies planares como campos o marcos de observacion visual, mi modo de estudiarlas sera el encuadramiento de cualquier superficie planar, (ya sea una figura geometrica o cualquier tipo de figuras u objetos de la naturaleza), enmarcandola dentro de un campo visual.
Pues bien, sera a este campo visual o marco de observacion a quien someteremos en su totalidad a las formulas y consideraciones que hagamos sobre las superficies planares.
Como vemos en el dibujo siguiente, sera a todo el marco de observacion al que aplicaremos las formulas planares, y no solo a la figura que va representada dentro de este marco.
La razon es muy clara: Es la manera mas simple de manejar las formulas planares para medir con mas facilidad, conservar la relacion de angularidad entre las distintas partes de la figura y no distorsionar esta figura cuando aplicamos las citadas formulas de transformacion.

[HOTLIST]

En el primer dibujo tenemos instrumentos simples de medicion de superficies planares como pueden ser una simple escuadra milimetrada (o un visor tambien milimetrado) a los cuales situaremos a la distancia adecuada para proceder a medir la unidad angular de superficie, es decir, a un decimetro de distancia si la escuadra esta milimetrada en centimetros.
El visor se supone que ya tienen correctamente proporcionado en sus parametros de observación.

[HOTLIST]


En este dibujo anterior contemplamos ya un ejemplo de los parametros que nos encontramos en una proyeccion de superficies planares.
En este caso por ser una proyeccion es una composicion planar de angularidad invariable, es decir, su unidad de superficie angular $ se mantiene a lo largo de toda la proyeccion.
---Vemos en primer lugar que el conjunto del foco de la proyeccion de esta pelicula nos proporciona una estructura piramidal con base en la pantalla y vertice en el foco de emision de la pelicula.
Esta piramide o conjunto del foco luminoso de emision tiene un volumen de 130,64 metros cubicos, del cual se ve su ajuste en el dibujo con arreglo a la formula que vimos anteriormente.
---Observamos ademas que si, entre la pantalla y el vertice o foco de emision, cortamos dicho foco con otra pantalla menor, pues tambien obtenemos la figura proyectada con las mismas proporciones de angularidad en todas y cada uno de sus puntos. ( Angularidad de a-b = angularidad de a'-b').
---Asi mismo vemos que si la propia maquina de proyeccion llevara ya ajustada su angularidad de emision (**), podriamos saber con exactitud las dimensiones que tendria el cuadro de la pelicula sobre la pantalla en cualquiera de las distintas distancias a que se pudiera situar dicha pantalla. Todo ello con la formula de superficies planares que esta en el dibujo. [S = $. d2 = 0'09 x (16'33)2 = 24 m3.)].
** Si no sabemos cual es la angularidad de la maquina de proyeccion, basta con hacer una prueba a 1 metro de distancia y medir la superficie que obtenemos en metros cuadrados. (Obtendremos Decahorizonts cuadrados)

----- 0 -----

En el siguiente dibujo vemos (con un ejemplo practico como es nuestra luna) como podemos estudiar todos y cada uno de los elementos de una superficie lejana (si conocemos su distancia) y su relacion entre ellos con solo medir sus angulos con instrumentos simples como puede ser una escuadra.

[HOTLIST]

Ahora bien, como las medidas de angularidad planar de superficie $ menores, podemos tambien nombrarlas como medidas metricas simplemente (en este caso deriamos que la angularidad $ de la superficie que estamos midiendo S es de 1'8 milimetros cuadrados).

Algunos ejemplos de construccion de figuras de superficies planares:

Comenzare con una figura simple con la que pueda exponer algunos de los parametros que hemos visto antes.

[HOTLIST]

Esta es una figura de angularidad constante y tambien a distancia predeterminada que nos produce una superficie planar a la distancia expuesta (20 metros).
Vemos que en principio esta figura es un cuadrado o pantana de 64 metros cuadrados y situada a 20 metros del vertice o punto de observacion y medicion.
Pero como dijimos antes, esta figura podria tener cualquier forma y contenido, (incluso ser un cartel de publicitario), con tal que este situado a veinte metros y tenga una superficie de 64 metros cuadrados que es lo que nos miden los parametros planares que usamos.
En principio, esta indefinicion de las caracteristicas interiores de la superficie planar puede parecer negativa para las aspiraciones y expectativas que pedimos a teoria de angulos planares, pero muy al contrario, puede ser una ventaja pues ello nos permite que podamos abarcar a todo tipo de superficies desde un simple cuadrado hasta el mas complicado dibujo o escena que se nos presente.
Asi si estamos observando un paisaje de la naturaleza, podemos encuadrarlo y estudiar todos y cada uno de sus angulos; todas y cada una de las superficies de sus figuras internas; todos y cada uno de sus puntos.
Si lo que pretendemos es construir (matematicamente) una superficie o escena a cierta distancia, basta con proveernos de una plantilla o modelo y proyectarlo a una distancia determinada mediante las sencillas reglas de trimetria que estamos viendo.

----- 0 -----

Con este segundo ejemplo podemos ampliar conceptos y contemplar mas propiedades de los angulos planares y de su medidas trimetricas.
En este caso hemos construido una piramide cuadrada y tenemos expuesta la formula trimetrica del volumen ( V = ( $ . d3 / 3) para analizarla.
Pero observando esta formula vemos que construye y a la vez calcula los parametros y valores de la figura construida (piramide).
Es decir, no es simplemente una formula de descripcion de una figura geometrica sino que a la vez lleva emparejado el calculo de la misma para las distintas posiciones que deseemos tomar de la variable x que es la distancia variable en este caso.
Asi pues, cuando escogemos un vertice (vertex), demos un angulo $ (0,16 Dh2) y escogemos una direccion d con distancias variable x entre 0 y 20, estos parametros nos construyen y describen una piramide con una maximo de 426,66 metros cuadrados.
Si damos distintos valores a x (distancia o altura de la piramide) obtendremos distintas valores de los cortes piramidales que nos da esa distancia.

[HOTLIST]

Superficies de angularidad variable.

En dibujo siguiente tenemos un ejemplo de construccion de figuras de angularidad variable.
En el vemos que podemos construir y hallar la superficie planar de estas figuras con solo aplicar la formula correspondiente y dar distintos valores a las variables.
Los distintos cortes planares segun el valor de las variables, nos dan las diferentes superficies interiores de la figura.
Recordemos que la estructura interior de estos cuerpos geometricos pueden ser compactos o contener cualquier clase de consistencia y forma, como es el caso del dibujo, que es una proyeccion de angularidad variable.

[HOTLIST]

Parametro de Ubicuidad

Si nos fijamos en la sencilla formula del angulo de observacion (Ao = L / d.) vemos que este parametro contienen toda una base estructural y de situacion dentro del Cosmos pues puede medir y orientarnos en las dos dimensiones del espacio (plana y exponencial) y nos situa y ubica en un punto de ellas a nosotros.
Dos ejemplos para explicarlo.

1.- Dimension plana del espacio:
Si aplicamos la formula (Ao = L / d.) sobre un planeta (1.000 km. diametro) de una estrella lejana que se encuentra a 100.000 a-luz
Ao = 1.000.000. / 1.000.000.000.000.000.000.000 = 0,000000000000001, (10^-15).
obtendremos un coeficiente o angulo de observacion bajisimo, y por tanto imposible de apreciar la estrella para nosotros.

2.- Dimension exponencial.
Pero si ahora deseamos contemplar a un electron entonces tendriamos que dividir sus dimensiones por la distancia
Ao = 0,000000000000001 / 1 = 0,000000000000001, (10^-15).
obteniendo similar valor y por tanto tambien imposible de apreciar el electron para nosotros.

Como vemos ambos valores son semejantes y bajisimos lo cual nos dice que estamos muy lejos de la ubicacion tanto del planeta como del electron, pero mientras para el planeta el concepto lejos se refiere a las distancias lineales; en el electron el concepto lejos se refiere a distancias en orden exponencial.
Dimensionalmente pues estamos muy lejos del planeta (dimension plana) y tambien muy lejos del electron (dimension exponencial).

2b.- Pero apliquemos ahora el coeficiente Ao sobre el universo que conocemos, y que supuestamente mide sobre 5 x 10^26 ms.
Ao = 5 x 10^26 / 1 = 5 x 10^26
Aqui la distancia es 1 porque nosotros estamos y pertenecemos a ese universo. No existe distancia entre el universo y nosotros. Y es 1 porque es nuestra medida paroximada.
Es decir un coeficiente increiblemente grande, que nos indica que estamos situados solo en una minuscula parte de el, o si queremos, que estamos dentro de el y ocupamos solo un infinitesimal del mismo.

Entonces, cual es el angulo ideal para una buena observacion?
Por supuesto el valor 1 (1 horizont).

Por ejemplo, observar un jarron de 40 centimetros de altura a 40 centrimetros de distancia; un arbusto de 1 metro de altura a 1 metro de distancia; una casa de 6 metros de altura a 6 metros de distancia; la tierra de 12.000 km. diametro visto a12.000 kilometros, etc.

Luego el coeficiente (Ao) o angulo de observacion nos mide tanto una dimension como la otra, siendo por tanto dicho valor angular (Ao) un modulo de ubicacion en el Cosmos de maxima importancia.

En este sentido cuando el angulo de observacion (o planar) mide la unidad (1 horizont) es cuando tenemos la posicion idonea para observar y apreciar el objeto en toda su extension.
Si el angulo de observacion es minimo entonces dimensionalmente estaremos muy lejos del objeto y no podremos observarlo ni apreciar sus cualidades.
Si por el contrario el angulo de observacion de muy grande, entonces estaremos situados solo sobre una parte del objeto, o dentro del mismo y por tanto con pocas posibilidades de estudiarlo en toda su extension.

[HOTLIST]