Propiedades de la division
Principio de equivalencia, propiedad conmutiva, la unidad como caracteristica referencial.
De cero (0) al infinito (00)
0/0 = 1 & Infinito/Infinito = 1
De ferman Fernando Mancebo Rodriguez--- Pagina personal.

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1.- Principio de equivalencia de la division
"Cualquier numero, elemento, sistema, idea, etc., dividida por si misma nos da la unidad 1".

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A este signo general representativo de todos los elementos podemos llamarle "ius"

Actualmente se acepta para la division de cero entre cero ( 0/0 ) una solucion que creo que no es la mas acertada, y que seria:

"Si se quiere averiguar el resultado de la division de 0/0, se debe plantear la ecuacion":

0/0 = x .....Con lo cual ..... 0x = 0 ..........Vera al final "operaciones con conjuntos vacios".

Y de este modo cualquier numero multiplicado por cero cumple esta condicion, siendo por tanto la solucion a esta division (0/0) INDETERMINADA.
En este caso decimos que 0/0 es una INDETERMINACION.

Yo por mi parte creo que esta solucion dada a la division entre ceros es incorrecta por la razon de que se aplica una unica norma o propiedad de la multiplicacion y siendo 0/0 una division tambien tendriamos que aplicar normas, propiedades y caracteristicas de las divisiones. Y no se hace.
Me estoy refiriendo a una propiedad "estructural" de la division que establece una relacion de equivalencia entre sus terminos, y que seria:

Principio de equivalencia:
"En cualquier division el dividendo contiene N veces al cociente, siendo N el divisor".

Del cual podemos sacar como primera consecuencia que:
"Cualquier numero, elemento, sistema, estructura, idea, etc., dividida por si misma nos da la unidad 1".

En este sentido, la conclusion actual de que 0/0 es indeterminada y que cualquier numero puede cumplir esta condicion se ve que es incorrecta ya que por ejemplo si:
0/0 = 7 entonces tendriamos que el dividendo 0 seria siete veces superior que el divisor 0 y esto no es asi ya que son el mismo.
Por tanto para que se cumplan las condiciones de la division (en este caso la de equivalencia) es necesario que 0/0 = 1.
De este modo se tiene que si cualquier numero dividido por el mismo nos da la unidad 1 (3/3=1; 7/7=1; 0,5/0,5= 1, etc.), no podemos considerar al cero con otras propiedades, ni al infinito tampoco: El cero es un numero infinitamente chico y el infinito es un numero infinitamente grande.
Si nos fijamos en la division de numeros iguales vemos que el resultado es igual a la unidad 1. En cambio si el dividendo y divisor son diferentes (no equivalentes), el cociente nunca sera 1.
En este caso podriamos decir que el 0 (dividendo) continene 1 vez (cociente) al 0 divisor; o que el infinito (dividendo) continene 1 vez (cociente) al infinito (divisor).
Pues bien, esta propiedad de equivalencia o igualdad entre dividendo y divisor cuando el cociente es la unidad 1, es posible incluso ampliarla a cualquier otro elemento fisico, de tal modo que si dividimos dos elementos iguales, (letra, triangulo, arbol, etc.) por el mismo tambien nos dara la unidad.
El fundamento de la traslacion de esta propiedad a los elementos fisicos es debido a que la propiedad de equivalencia de la division produce o afirma igualdad entre dividendo y divisor cuando el resultado es 1.
Luego si tenemos dos elementos fisicos como dividendo y divisor y dicha division nos da la unidad, ello quiere decir que los elementos fisicos que intervienen en la division son totalmente equivalentes. Y viceversa, si tenemos dos elementos iguales o equivalente, su division nos dara la unidad.
Asi, si tenemos dos elementos desconocidos # y & pero sabemos que cumplen la ecuacion # / & =1 entonces sabemos que ellos son elementos iguales o equivalentes.
Pero si en cambio cumplen la ecuacion # / & = 5, entonces sabemos que estos elementos no son iguales ni equivalentes.

0/0 = 1

Formas operativas de la multiplicacion:
Defectos de la forma simplificada.

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En la multiplicacion podemos considerar dos modos operativos:
La multiplicacion fiel, propia o extensa y la multiplicacion simplificada.

--- La multiplicacion fiel, propia o extensa, es la que sigue el enunciado propio de la multiplicacion:
"Multiplicar es sumar tantas veces el multiplicando como unidades tiene el multiplicador".
Ej. 4 x 3 = 4 + 4 + 4 con valor absoluto igual a 12.

--- La multiplicacion simplificada es un metodo operativo para el cual usamos unas tablas, que normalmente sabemos de memoria, las cuales nos dicen el resultado final sin necesidad de hacer los sumandos uno a uno.
Ej. 4 x 3 = 12
Pero claro este procedimientos al convertirlo en simplificado puede perder informacion y fidelidad operativa, y asi ocurre como vemos ahora.
Y lo peor de todo en matematicas, es que este modo de multiplicar es el que usamos para hacer muchas deducciones matematicas y postulados, que en algunos casos estan viciados o equivocados.
Y el tema que nos ocupa es uno de ellos, 0/0 = 1.
Veamos el procedimiento fiel o extenso mediante un ejemplo:
4 x 0 = 0 + 0 + 0 +0
Despejando el 4 tendriamos:
4 = 0/0 + 0/0 + 0/0 + 0/0
Con lo cual se demuestra que 0/0 = 1.
Sin embargo si utilizamos la forma simplificada de la multiplicacion, vemos que nos da un resultado 0/0 = indeterminado, puesto que tiene infinitas soluciones, ya que n x 0 = 0 y 0/0 = n, es decir la division 0/0 nos daria cualquier resultado, con este modo operativo.
Y a que se debe esto? Pues debido a la perdida de informacion, fidelidad y exactitud que tiene esta forma simplificada de la multiplicacion.
Este metodo operativo salta desde la exposicion de la operacion (4 x 3) al valor absoluto de la multiplicacion (12) sin ocuparse del proceso operativo completo, con lo cual pierde las propiedades intermedias que toda multiplicacion debe tener y que son necesarias demostraciones y propuestas de postulados que usen como base a la multiplicacion.
Por tanto, y a mi entender 0/0 = 1, cuestion que puede demostrarse como anteriormente hemos visto.

2.- La unidad como referencia en la division.

La division es una operacion de particion que toma como referencia a la unidad 1.
Esto quiere decir que no importa si el dividendo a repartir es superior a la unidad o inferior, siempre se tomara el resultado como "cantidad que le corresponderia a la unidad".
Veamos algunos ejemplos:
Si dividimos 60 euros entre 5 personas, le daremos 12 euros a cada uno ( 12 euros a 1). Y esto se comprende que es totalmente logico y real.
Pero si dividimos 1/2 tarta entre 1/2 clase de escolares, la division nos diria que caben a 1. Pero no es que a la media clase de escolares le corresponda un pastel, sino que el cociente resultante es para cada unidad y por tanto lo que nos dice la division es que a 1 clase completa de escolares le corresponderia 1 pastel.
Del mismo modo si dividimos 4 entre 0'5 (4/0'5 = 8) no quiere decir que a 0'5 le corresponden 8, sino que seria a la unidad a quien corresponde 8.
Pues bien, eso es tambien lo que quiere decir 0/0=1. No que al divisor (0) le corresponde la unidad 1, sino que al ser dividendo y divisor iguales, a cada unidad sobre "la que se reparte" le tocaria una unidad "de lo que se reparte".
Asi si repartimos 0 euros entre 0 personas (0/0 = 1), no quiere decir que a cero personas le toque un euro sino a la unidad de referencia (una persona) le tocaria un euro.
Por tanto vemos que las divisiones de numeros racionales son porcentajes a la unidad: Tanto por unidad. Y claro en este caso, 0/0 = 1 es tambien un porcentaje a la unidad, uno por cada unidad.

3.- Propiedad conmutiva de la division:

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Otra de las razones que nos inducen a ampliar el principio de equivalencia de la division a cualquier elementos, cuando da la unidad como resultado, es el que nos proporciona la Propiedad Conmutiva de la division.
Ella nos muestra que si aplicamos dicha propiedad a la division entre elementos iguales, tambien se cumple con cualquiera de estos elementos sin que tenga que ser un numero.

Definicion:

La Propiedad Conmutiva nos diria que si en una igualdad ( a / b = c ) cambiamos el divisor ( b ) por el cociente ( c ), tambien se cumple esta nueva igualdad ( a / c = b ).

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Propiedades revisadas:

De este estudio podemos entresacar como propiedades y caracteristicas principales de la division a las siguientes:

Principios de equivalencia:
"En cualquier division el dividendo contiene N veces al cociente, siendo N el divisor ".

Propiedad conmutiva:
"En cualquier division si cambiamos el dividendo por el cociente tambien se cumple la nueva igualdad resultante. "

Propiedad referencial:
"En toda division, el cociente toma como referencia de reparto a la unidad 1 ".

Operaciones con conjuntos vacios.

El conjunto vacio es un conjunto sin elementos que puede ser representado por el cero ( 0 ), pero sigue siendo un conjunto y por tanto puede ser sometidos a operaciones de conjuntos.

Por tanto podemos decir que el cero ( 0 ) es el conjunto vacio por excelencia.

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Cuando operamos con conjuntos vacios normalmente nos fijamos solo y exclusivamente en el resultado de sus elementos componentes, que al no tener pues datamos como cero.
Pero nos olvidamos de algo esencial, y es del numero de conjuntos vacios con los cuales estamos operando.
Si como en el dibujo tomamos un vaso vacio y los multiplicamos por 3, el resultado real sera que tenemos 3 vasos vacios, pero el resultado parcial sera que por estar vacios pues el total numero de sus elementos es cero.
Asi que en este caso ajustamos y damos un resultado SOLOS DE SUS ELEMENTOS, pero nos olvidamos que ESTAMOS USANDO UNA SERIE DE CONJUNTOS.
Pues bien esto es de primera importancia pues este metodo de operacion lo usamos despues como una propiedad y justificacion de la operacion que estamos haciendo.
Y claro, al tomar como principio y explicacion a un resultado parcial y no al resultado total de la operacion, pues terminamos por aceptar principios de indeterminacion que no existen.
Por ejemplo, si ponemos que 1x0 = 4x0 estamos aceptando que ambos terminos son identicos, cuando no lo son, pues en el primero hay solo un conjunto vacio y el segundo hay cuatro conjuntos vacios, aunque el numero de elementos componentes sea igual en ambos termino de la igualdad.
Pues bien, cuando operamos de este modo (3x0 = 0) debemos de convenir en que estamos operando PARCIALMENTE y solo con relacion a los elementos de los conjuntos vacios que estamos usando.
Del mismo modo debemos aceptar que dicha operacion es PARCIALMENTE INDETERMINADA, puesto que tres conjuntos vacios no puede ser lo mismo que un conjunto vacio.
Y por esta misma razon no podemos usar este tipo de postulados para concluir que 0/0 sea una operacion indeterminada, puesto que su solucion es 0/0=1 ateniendonos a las propiedades de la division.

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