Explicacion

"Las coordenadas radiales u orbitales son coordenadas esfericas en movimiento"

Este sistema de coordenadas no usa como base parametros trigonometricos de union con las coordenadas cartesianas (senos, cosenos, etc.) sino vectores de velocidad (angular) W y (lineal) V

Con lo cual estas coordenadas pueden definirse como matematica dinamica.

Las coordenadas orbitales or radiales es un sistema de coordenadas esfericas que son usadas como conjunto al estar unidos y desarrollarse todos sus parametros mediante un vector de tiempo.
Dicho vector de tiempo, tomado desde su inicio hasta su finalizacion, y el conjunto de formulas y parametros que lleva unidos, nos puede expresar recorridos y figuras geometricas.
Para ello, las formulas de coordenadas orbitales or radiales se aplican a una particula P figurada que recorre y dibuja los elementos que deseemos construir.
En el dibujo se muestra este sistema, en el cual P es la imaginaria particula que nos describira y dibujara las figuras que queramos construir.
--C es el centro o punto de apoyo desde donde vamos a construir la figura o recorrido.
--R es el radio o distancia desde el centro C a la particula P en cada momento del recorrido.
--O o Alfa, es coordenada orbital en sentido horizontal. Dichas coordenada se mide en grados y en velocidad angular (Wo)
--H o Beta, es la coordenada vertical medida desde la horizontal O. Se mide en grados y tiene su velocidad angular Wh.
--t es el tiempo que une a todas las formulas y que impulsa el movimiento en cada una de ellas.
Ademas de estos parametros simplificados, puede existir sustitucion de algunos de ellos por vectores de velocidad. Por ejemplo, la velocidad angular de H, (Wh) puede ser sustituida por un vector de desplazamiento ( v.t) del punto C hacia la vertical H.

Formulas

En este primer estudio de coordenadas orbitales vamos a ver principalmente las formulas que usaremos para describir figuras y cuerpos geometricos en el espacio.
Como en este caso, lo que nos interesa no es la situacion circunstancial de la particula P que dibuja los cuerpos geometricos, sino la totalidad de la figura ya creada, pues usaremos la letra f que significara "figura que construye y describe la formula" con un sufijo que nos diga el nombre de la figura a construir, despues el signo de igualdad = y la formula que construye esta figura.
Por tanto aqui vemos que las formulas de las coordenadas radiales no son igualdades numericas sino geometricas donde los parametros del segundo termino definen los puntos, figuras o campos geometrico que se expresa en el primer termino.

Como vemos, las coordenadas orbitales o radiales consisten en una serie de parametros que en su actuacion conjunta sobre el radio R nos definen figuras y formas geometricas, y en las cuales dichos parametros se convierten en variables con relacion al tiempo comun de aplicacion.
Por ejemplo, dada la coordenada ecuatorial de rotacion O con velocidad angular W, cuyo angulo se convierte en una variable para cada valor del tiempo t.

Nota importante:
Las formulas de coordenadas orbitales son formulas de sistemas en movimiento, en las cuales una supuesta particula (P) con radio (R) sobre un centro (C) nos describe figuras geometricas durante cierto periodo de tiempo.
Ello significa que si nos interesara saber los parametros del radio R y situacion de la particula P en la sobre la "esfera radial", tenemos que adentrarnos en la formula y sacarla para el valor de tiempo que deseemos.

Ejemplos de uso:

Ahora veremos algunos ejemplos muy simples de como pueden usarse las coordenadas radiales.
No obstante su uso es ilimitado y pueden construirse todo tipo de figuras y cuerpos geometricos, asi como orbitas, recorridos, etc.

Circunferencias

La circunferencia podriamos considerarla como la figura mas simple que se pueden construir o dibujar con las coordenadas orbitales.
En este caso basta con situar un punto central C como centro de la circunferencia; un radio R que nos dara la amplitud de la circunferencia y un punto de partida P que sera el lugar donde comenzaremos a construirla.
Veremos despues que las circunferencias se pueden construir en cualquier direccion, segun las coordenadas radiales a las que les apliquemos el movimiento.
La primera circunferencia a construir sera una situada sobre la horizontal, tal como si lo hiciesemos con un compas sobre una hoja de papel situada sobre nuestra mesa.

Para ello podriamos imaginar que tomamos una hoja de dibujo y la situamos sobre nuestra mesa.
En el dibujo 2 vemos este ejemplo de construccion observando primero el papel sobre la mesa.
Sobre ese plano horizontal (que le llamaremos en adelante coordenada O) fijamos un punto central C que tomaremos como centro de la circunferencia. Asi mismo medimos una distancia R hacia un punto de nuestro gusto P para fijar donde comenzamos a construir la circunferencia.
Una vez preparados para dibujar la circunferencia, lo unico que tenemos que hacer imprimir una velocidad angular Wo al punto P y hacerlo girar sobre el punto C o centro.
Es por tanto lo mismo que haraamos con un compas, pero esta vez construyendo una circunferencia imaginaria mediante una formula matematica.
Pues bien, para representar esta formula matematica utilizamos la formula general de las coordenadas radiales que se marcha en la Dibujo 1, que consta de una letra principal R que es el radio y unos indices y subindices que representan cada una de las coordenadas radiales.
Este caso del dibujo de circunferencias sobre la coordenada horizontal O, la formula es la del dibujo 2. R y el subindice O + Wo x t.
--El radio R es una constante que podemos escoger para darle amplitud a la circunferencia.
--La marca primera del subindice ( O ) es el punto de la coordenada donde queremos empezar a construir la circunferencia.
--Wo es la velocidad angular de giro que le damos a esta coordenada O.
--Y t es el tiempo que durante el cual queremos que la circunferencia se este construyendose.
Ya veremos que este tiempo puede ser infinito, lo cual nos producirian una construccion constante de la circunferencia.

Circunferencia sobre la coordenada vertical H

Del mismo modo que construimos la circunferencia anterior sobre la coordenada horizontal O, tambien podemos hacerlo sobre la coordenada vertical H. Dibujo 3
En este caso fijamos tambien un punto central que coincide con el punto central de la coordenada O, y desde el medimos un radio en la direccion que deseemos y al final del radio estara el punto desde el cual vamos a empezar a construir la circunferencia en vertical.
De igual modo que en la anterior circunferencia, en esta vertical damos una velocidad angular Wh de giro sobre el punto C y obtendremos una circunferencia vertical.
La formula estara en este caso representada (dibujo 3) por el por el centro C; el Radio R de la circunferencia; por la velocidad angular Wh de la coordenada H, por el tiempo de ejecucion y por la marcación en grados que tiene la coordenada O (que sera una constante ) para poder definir la situacion de la circunferencia con respecto a esta coordenada O.

Espirales

Las espirales las podemos dibujar en cualquier posicion igual que la circunferencia.
Si por ejemplo queremos hacerla sobre la horizontal o coordenada O (final del dibujo 3), marcamos el punto central C (u otro punto cualquiera de la coordenada O) y procedemos igual que con la circunferencia, es decir, dando una velocidad angular Wo al punto P (que en este caso puede coincidir con el centro) para hacerlo girar sobre el punto central C.
La gran diferencia con la construccion de la circunferencia, es que el radio R que era una constante en la circunferencia, en las espirales el radio R va aumentando de longitud al aplicarle una vector de movimiento v.t .
Asi pues, en las espirales existe una velocidad angular Wo sobre el punto P y al mismo tiempo una velocidad v lineal hacia el exterior.
Estos dos tipos de movimiento sincronizados hacen que se construye la espiral.
La formula seria la que expresa el dibujo 3 con dos subindices, uno para mostrar la velocidad angular, y otro para definir el aumento continuo del radio R.

"En las coordenadas radiales ha de existir al menos una coordenada que este sometida a algun tipo de movimiento".

"No obstante, en muchas circunstancias podemos usar la formula general de las coordenadas radiales describir parametros inmoviles o conjuntos de ellos, y por tanto con caracteristicas simples de coordenadas esfericas, pero usando nuestra formula de coordenadas radiales."

Como ejemplo de ello puede ser la descripcion de las direcciones de los enlaces en las moleculas esfericas, que a continuacion de detalla en el dibujo:.

Ahora bien, como lo que veremos en este estudio son los coordenadas radiales en movimiento, pues no fijaremos en ellas casi exclusivamente y en la importancia que tiene en movimiento de las mismas.

Y esto se ve claramente incluso en las aplicaciones mas sencillas, como por ejemplo, en la circunferencia:
Si en la construccion de una circunferencia, nosotros aplicamos una velocidad angular corta, por ejemplo de 10 grados por segundo, entonces veriamos perfectamente de girar al punto que describe la circunferencia. Pero si aplicamos una alta velocidad angular, p.e. 560 grados segundo, en este caso apenas si veriamos el punto y solo veriamos la circunferencia ya descrita.
Esto es importante para la construccion de figuras, a las cuales nos interese ver (o imaginarnos) las lineas y superficies de una manera compacta y sin fisuras, es decir, no ver el punto que se desplaza sino la figura ya descrita y dibujada por este punto que se desplaza al alta velocidad.
Tambien es basico para la creacion de figuras con la forma adecuada, ya que en la mayoria de los casos necesitamos que este construida una parte de la figura, para despues moverla y poder construir con esta base la totalidad de la figura.
Asi ocurre en figuras tales como el cilindro, el cual necesita que la velocidad angular de la base o circunferencia (coordenada O) sea mucho mayor que la del desplazamiento de la coordenada H, porque sin o fuera asi, en vez de una cilindro compacto nos daria un simple muelle con figuras entre sus espiras.
Por tanto, una de las esencias de las coordenadas radiales es saber manejar la relacion de velocidades entre cada una de estas coordenadas.
Para ello, en las formulas utilizo la constante K que puede ser 360 u otro alto valor.
Asi se puede hacer una coordenada mucho mas veloz en comparacion con otra de la formula.

Veamos por tanto, algunos ejemplos mas de coordenadas radiales, aunque como dije al principio solo estamos tratando las formas simples para tener una idea basica, pero que su alcance es ilimitado, pudiendose llegar a construir formulas con multitud de ecuaciones de este tipo de coordenadas de tal forma que se construyen muchas figuras a la vez y que se esten modificando, moviendo y relacionando las unas con las otras.
Ademas se pueden construir cualquier tipo de figuras, como poligonos, poliedros, etc.
Veamos estos ejemplos y algunos que puedan tener constantes K.

Muelles

En el ejemplo del muelle la construccion de su circunferencia viene dada por la velocidad Wo angular y el tiempo t, tal como veiamos en el ejemplo de la circunferencia.
La apertura de espira depende de la velocidad v que demos a la coordenada H.
En este ejemplo si mantenemos el radio constante tendremos un muelle regular. Si cambiamos el radio tendremos diferentes tipos de muelle.
Vemos asi mismo que al punto C le hemos dado un movimiento hacia la coordenada H (hacia arriba) cuya velocidad es de v.t.
Este movimiento hacia arriba es el que hace que se creen la separacion entre las espiras.
La formula ya la vemos en el dibujo.

Tubos y Cilindros

En este ejemplo vemos el cilindro para lo cual usamos los mismos parametros que para el muelle, pero usando una constante K de alto valor para conseguir que la superficie del mismo sea compacta y no tenga claros como en el muelle.
Este es un ejemplo de la utilidad y relacion de las constantes K entre coordenadas.
Hemos conseguido crear y mantener primero una circunferencia debido a la alta velocidad de la coordenada horizontal O, (K.W) y despues hacer que esta circunferencia se desplace hacia arriba consiguiendo la figura del cilindro.

Cono

Las coordenadas radiales tienen la particularidad de una diversidad de posibilidades casi ilimitadas, lo cual permite que cada uno podamos escoger, adaptar o construir nuestras formulas particulares segun las figuras, movimientos o trabajos que queramos describir.
En el caso de construir un cono existen diferentes posibilidades segun la direccion, modo de construccion etc., que deseemos escoger.
En este caso yo expongo una formula para construir un cono comenzando por la base y en direccion a la coordenada H, pero podia haber sido de cualquier otro modo.
En el modo escogido, comenzamos dando al radio R las dimensiones que queramos que tenga la base del cono.
Seguidamente, damos una alta velocidad angular a la coordenada O para construir la circunferencia de la base y al mismo tiempo una velocidad lineal mas lenta al movimiento que le damos a las coordenadas y punto C en la direccion vertical H.
A medida que las coordenadas van avanzando hacia arriba y para que se produzca la forma conica en la figura, vamos acortando el radio R con relacion --v.t .

Relojes

En el ejemplo del reloj no existe coordenada H porque las agujas solo giran sobre la coordenada O. En este caso hay tres coordenadas radiales (una para cada aguja) unidas por el factor tiempo. Como existe una relacion de giro de 1, 12, 144 entre las agujas y un recorrido de 6 grados/segundo para el segundero, pues a las otras dos agujas solo hay que aplicarle sus relaciones de giro entre ellas.

Orbitales

Esfera

La construccion de la esfera es tambien bastante sencilla.
Solo hay que dar movimientos angulares a las coordenadas O y H.
Para ello escogemos un movimiento con alta velocidad angular de la coordenada O para que forme la circunferencia inicial y una estructura compacta de la esfera. Y damos una velocidad angular lenta a la coordenada H para que vaya completando el recorrido y construccion de la esfera.
En este caso concreto, hemos dado un valor inicial a la coordenada H de 90 grados para comenzar a construir la esfera por la parte de arriba. Pero existen muchos modos de construirla.
--Importante--- Recordemos que la coordenada H se mide siempre a partir de la situación de la coordenada O con objeto de que esten sincronizadas la una con la otra.---

Torno

El ejemplo del torno es interesante puesto que podemos construir todo tipo de piezas torneadas con estas formulas de coordenadas radiales.
Asi la velocidad de corte nos vendra dada por el movimiento (v. t) del punto C junto a su radio en cada momento, hacia arriba (coordenada H ).
La forma del torneado sera la que nos de las funciones f(x) del radio, es decir, el aumento o disminucion del radio en cada momento del corte o torneado.
Los tiempos t1, t2, t3. nos dicen el periodo en que se aplica cada funcion f(x) o (f(v). La suma de todos estos periodo nos dara el tiempo total t.
En la figura, vemos que en el primer tramo la f (x) es solo constante, pues el radio no varia.
En el segundo tramo, el radio va variando con relacion a f (x)' y con ello crea la forma superior de la figura.
Se usa la constante K para poder definir bien la estructura de la pieza, como hemos visto anteriormente con el cilindro.

Burbuja o Big-bang

La formula para una burbuja que comenzando por un punto pueda ir aumentando indefinidamente, -mientras dure el tiempo aplicado- es tambien aplicable a ese posible desarrollo de Big-bang.
En esta formula tenemos primeramente el desarrollo de la coordenada horizontal O que con su velocidad angular Wo y el tiempo nos define una circunferencia.
La coordenada H con su velocidad angular Wh en conjuncion con la coordenada O nos define una esfera.
Y la velocidad v por el tiempo t aplicada al radio R no va aumentando indefinidamente este radio, y por tanto la esfera, burbuja o Big-bang.
Las constantes K y K2 como siempre nos ayudan a definir las figuras de forma equilibrada y sin fisuras entre lineas.

Hasta aqui una muestra de formas simple de utilizacion de las coordenadas radiales con objeto de que se vayan conociendo.
Ya tendremos tiempo de ampliar sus posibilidades, con figuras tales como poligonos, poliedros, tornillos, movimiento, orbitales, etc.
Por el momento y como ejemplo practico, aunque bastante simple, pondre un problema imaginario de aplicacion.

Problem: Construccion de un oleoducto Malaga-Madrid.

Supongamos que quiero hacer (imaginativamente, claro) un oleoducto entre el puerto de mi ciudad (Malaga) y el centro del pais, Madrid.
La distancia es de unos 504 kilometros.
Asi que decido que el oleoducto tendra 2,6 metros de diametro.
Para ello uso la coordenada H vertical para crear la amplitud o circunferencia de la tuberia del oleoducto, con un radio R de 1,3 metros.
Para que se marque bien la circunferencia doy alta velocidad angular a la coordenada H, digamos de 1000 revoluciones por segundo.
Entonces doy una velocidad de desplazamiento del punto C de las coordenadas con direccion a Madrid. Esta velocidad puede ser de 1 metro/segundo o 3,6 kilometros/hora.
Pues bien, si no me equivoco en los calculos, 140 horas despues de comenzar la construccion del oleoducto, este habra llegado a su destino, Madrid.
Pero ademas, y esto es un caracteristica de las coordenadas radiales, puedo en cada momento averiguar por donde se va desarrollando la construccion el oleoducto con solo aplicar el tiempo transcurrido desde su inicio. Asi mismo aplicando tambien el parametro tiempo t puedo averiguar por donde iba construyendose en un momento determinado o por donde se ira construyendo en un momento posterior.
Por supuesto que todo esto es imaginacion, pero tambien son matematicas del espacio y movimiento.

En este caso, una forma de aplicacion de estas coordenadas radiales para mediciones podria ser la obtencion del volumen del oleoducto: V= S. ( v.t ) donde S es la superficie o apertura del oleoducto y (v.t) la longitud en cada momento.

Oscilacion Radial

Aunque es un tema que no vamos a tratar con extension en esta simple explicacion, es interesante exponer su existencia porque puede ser importante para construir muchos tipos de figuras y cuerpos geometricos. Por ejemplo, estrellas, tornillos, etc.
La oscilacion radial es simplemente un entorno de una sucesion numerica que escogemos para aplicarlo a cualquier parametro o coordenada radial.
Se llama oscilacion porque s valores que tomamos de ese entorno oscilan entre el maximo y el minimo de una forma continuada.
Por ejemplo, si el entorno de valores va del 1 al 5, nosotros aplicariamos primero el valor 1, despues el 2, 3, 4 y 5 y al llegar a este valor (5) volveriamos hacia abajo en sentido contrario hasta el 1 donde volveriamos a subir.
Por tanto una sucesion de este tipo seria 1,2, 3,4,5,4,3,2,1,2,3,4,5,4,3,2,1,2, etc.
Como vemos esto metodo de aplicacion de valores formaria una onda en un dibujo de coordenadas.
Para expresar un entorno podemos poner un indice con el maximo y un subindice con el minimo valor del entorno.
En el dibujo podemos ver un ejemplo de entorno oscilante que va del 0 al 8 y del 8 al 0.
Tambien vemos una forma de expresar un entorno oscilante.

Poligonos, poliedros, tornillos, estrellas.

Una de las aplicaciones de la funcion oscilante es la de construir poligonos. Y ampliando un poco la formula, la de conseguir o dibujar otros tipos de figuras como poliedros, tornillos, estrellas, etc.
Para ello vamos a poner una formula simple de aplicacion en la construccion de poligonos, a la cual se le podran poner todo tipo de parametros para conseguir las otras figuras.
Como esto es una explicacion simple, pues veamos la formula basica.

En esta formula vemos que existe una relacion directa entre la velocidad angular Wo de la coordenada O horizontal y el aumento del radio, cosa logica y necesaria para que el radio dibujar en cada momento el poligono deseado.
De este modo es independiente la velocidad Wo que le demos a las coordenadas.
Explicacion de los parametros de la formula.
---Ya conocemos y sabemos como funciona la coordenada horizontal O y su velocidad angular Wo de otras formulas.
--- El aumento adecuado de radio, en coordinacion con la coordenada horizontal O de rotacion, se da por el parametro R x (secante Wo.t) 360 /2n a 0 grados.
Esto significa que a la marcacion en cada momento del angulo que va adquiriendo la coordenada O con el tiempo t, la hemos convertido en un vector o entorno oscilante de tal manera que cuando el valor del angulo de la coordenada O llegue a 45 grados, comienza a bajar en la misma proporcion y velocidad hasta los 0 grados, donde vuelve a subir a los 45 grados y asi sucesivamente como una onda de oscilacion.
Es similar a lo que hacemos con en trigonometria con las vueltas completas, es decir, que cuando llegamos a 360 grados el valor vuelve a cero y comienza otra marcacion.
En este caso no repetitiva sino oscilante la marcacion y definida en amplitud segun el angulo o numero de caras del poligono que deseemos construir.

Poliedros, estrellas, tornillos

Con formulas semejantes a las usamos para construir poligonos, podemos construir tambien otros tipos de figuras como son las figuras en forma de estrella, los poliedros, tipos de tornillos, etc.
Como vemos (dibujo 14) la construccion en forma de estrellas es casi la misma que para poligonos regulares, pero usando una constante C para poder conseguir el pico de las estrella a nuestro gusto, es decir, lo largo que deseemos. De esta forma podemos hacer picos mas cortos que en los poligonos, o si queremos infinitamente mas largos.

Poliedros
Para la construccion de poliedros usamos la coordenada H como vector de movimiento para darle una proyeccion y movimiento a la base (que es un poligono, estrella u otra figura) y conseguir como en los ejemplos del cilindro, cono, etc. que se forme una figura tridimensional.
Como sabemos, a la coordenada horizontal O le damos alta velocidad y a la coordenada H vertical le damos baja velocidad para conseguir que las figuras sean compactas.

Tornillos
La forma de tornillo la conseguimos haciendo que la suma de los angulos del poligono o estrellas de la base no coincida con los 360 grados de giro de la coordenada O, con lo cual se produce un desfase y torsion de la figura en forma de tornillo a medida que la coordenada H va avanzando hacia arriba.

Amplitud de funcion m => n

Como se ha explicado las coordenadas radiales son coordenadas en movimiento con lo cual necesitan de un periodo de tiempo para ejecutar la funcion que las determina.
Pues bien, a este periodo de tiempo en el cual se desarrolla la funcion que nos dibujara la figura que deseemos es a lo que llamamos amplitud de funcion.
Para ello usamos el parametro m => n que nos dice mediante m cuando o donde comienza a desarrollarse la funcion, y mediante n cuando o donde termina de desarrollarse esta.
El parametro de amplitud de funcion se colocara directamente encima del parametro sobre el que actuara, de tal modo que el parametro donde se coloque se transformara en parametro director de la funcion.
Ello quiere decir, que el parametro o coordenada que lleve sobre el a la amplitud de funcion, sera el que determine cuando o donde comienza la funcion y cuando o donde termina.
Esto se puede ver y comprender mejor en el dibujo siguiente.

En este dibujo vemos como se puede colocar la amplitud de funcion sobre cualquier otro parametro o coordenada de la formula de coordenadas radiales.
-- Sobre f que nos dira que el tiempo de ejecucion de la funcion comenzara en m y terminara en n.
-- Sobre el radio R (p.e. en el cono) que nos dira que la funcion termina cuando el radio R sea igual a cero, es decir, cuando el cono este terminado.
-- Sobre la coordenada H=c , (p.e. en el cilindro) que igualmente nos dara la altura (v.t) del cilindro.
-- Sobre la coordenada H (p.e. la esfera) donde nos dira que la esfera comienza a desarrollarse a partir de 90 grados de H y termina en el valor de 180 grados de H.
etc.

El Cosmos y sus coordenadas radiales

La teoria y propuestas de este sistema de coordenadas radiales provienen de una necesidad que tuve de encontrar el modo adecuado de solucionar el problema de situacion de electrones en los atomos y de planetas en las estrellas, segun mis propuestas y modelo de Cosmos de 1975.
Parafraseando un poco podria decir que segun mi vision del tema se podria considerar que:
"Los humanos tenemos la mente cuadriculada y utilizamos las coordenadas cartesianas, mientras que el Cosmos tiene una mente esferica y usa las coordenadas radiales".
Y asi parece ser pues todas sus creaciones tratan de tomar forma espiral, esferica, helicoidal, simetrica, de movimientos fractales, etc.
Mientras que para nosotros todo deberia ser cuadrado, como nuestro modo de pensar.
Pues bien, una de las erroneas consecuencias -muy moderna por cierto- de esta cuadriculacion ha sido la de usar coordenadas cartesianas para ubicar a los electrones en su orbitas de tal manera que parecerian uvas colgando de un racimo.
Y no importa si para ello tenemos que olvidar todos los conocimientos fisicos que no dicen que las fuerzas de los atomos por ejemplo, tienen campos gravitatorios centrales, sus campos magneticos y electromagneticos tambien centrales, que es necesario campos de fuerzas atrayentes e inercias centrifugas compensadoras de estos campos, etc.
Asi que para eso propuse las coordenadas radiales que se exponen en esta explicacion y con anterioridad en mi web de 2003.
Saludos a todos. F.M.R.